单子是什么结构的字_单子是什么意思

想必现在有很多小伙伴对于单子是什么意思方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于单子是什么意思方面的知识分

想必现在有很多小伙伴对于单子是什么意思方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于单子是什么意思方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

（这是关于《范畴论》一系列回答的第十篇，紧接在问题：”极限的含义？“ 之后，小石头将在本篇中与大家一起讨论单子。）

(资料图片仅供参考)

单子（monad）的哲学解释大家可以参考莱布尼兹的《单子论》，这里仅仅讨论数学中的单子。

在引入单子概念之前，我们先做一些准备。

转载写或者引用本各文内容请注明程来源部于芝士用回答

首先，让我们复习一下以前介绍过的各种复合操作：

有们主种体很将权究快属。

态射 f: A → B, g: B → C 的复合还是态射：

gf: A → C

那心路农口转切，离群技。

具体定义由各个范畴结合态射的定义给出；

函子 F: A → B, G: B → C 的复合还是函子：

GF: A → C

定义为：

GF(f) = G(F(f)), GF(A) = G(F(A))

自然变换 α: F → G, β: G → U （F, G, U: A → B, α, β: ObA → MorB） 的复合还是自然变换：

β∘α: F → U（β∘α: ObA → MorB）

定义为：

β∘α(A) = β(A)α(A)

考虑到，自然变换复合定义的特殊性，尤其是与其他复合联用时，我们一般不省略 自然变换 之间的 复合 符号。

自然变换 α: F → G（F, G: A → B，α: ObA → MorB）与 函子 U: B → C 的复合是自然变换：

Uα: UF → UG（Uα: ObA → MorC）

定义为：

Uα(A) = U(α(A))

函子 F: A → B 与 自然自然变换 α: G → U（G, U: B → C，α: ObB → MorC） 的复合是自然变换：

αF: GF → UF（αF: ObA → MorC）

定义为：

αF(A) = α(F(A))

自然变换 α: F → G, β: U → V （F, G: A → B, α: ObA → MorB, U, V: B → C, β: ObA → MorB） 的星乘还是自然变换：

β∗α: UF → VG（β∗α: ObA → MorC）

定义为：

β∗α = βG∘Uα = Vα∘βF

Uα: UF → UG, βG: UG → VG, βG∘Uα: UF → VG; βF: UF → VF, Vα: VF → VG, Vα∘βF: UF → VG.

然后，对于平行反向函子 F: A ⇄ B: U，回忆，伴随 F ⊣ B 的前3种定义：

自然变换 η: 1ᴀ → UF（称为 单位），对于每个 A ∈ObA， η(A) 都是 A 到 U 的 泛映射；

如果 对于任意 A ∈ObA, B ∈ObB，都存在 自然双射 φ: Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B)) :ψ (称为 附属形式)；

自然变换 ε: FU → 1ʙ （称为 余单位），对于每个 B ∈ObB， ε(B) 都是 B 到 F 的 余泛映射；

以及， 第 1，3 种定义 分别 和 第2种定义 之间的关系：

η(A) = φ(1ғ₍ᴀ₎) ，f = φ(g) = U(g)η(A)；

ε(B) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎)，g = ψ(f) = ε(B)F(f)；

接下来，我们研究 第 1，3 种定义 之间的关系。

根据 A 的任意性，可令，

A = U(B)

则，F(A) = FU(B)。又，令，

f = 1ᴜ₍ʙ₎

则，

g = ψ(f) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎)

再根据前面的关系：ε(B) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎) 有，

g = ε(B)

将以上结果，带入前面的关系：f = φ(g) = U(g)η(A) 得到 ①：

1ᴜ₍ʙ₎ = f = φ(g) = U(ε(B))η(U(B))

即，

1ᴜ = Uε∘ηU

同理，令 B = F(A)，g = 1ғ₍ᴀ₎，根据前面的关系，最终，可得到 ②：

1ғ = εF∘Fη

结果 ① 和 ② 就是 第 1，3 种定义 之间的关系，绘制成交换图如下：

我们，称 ① 和 ② 为三角恒等式。

三角恒等式 可以作为，伴随的第 4 种定义的条件，即，

对于平行反向函子 F: A ⇄ B: U，如果，存在自然变换 η: 1ᴀ → UF 和 ε: FU → 1B 并且满足 三角恒等式，则 F 和 U 伴随。

上面已经从 前 3 种定义 推出了 定义4，现在只要从 定义4 推导出 定义2，就可以 证明 这些定义的 等价性了。我们，令：

φ(g: F(A)→B ) = U(g)η(A)；

ψ(f: A → U(B) ) = ε(B)F(f)；

则有，

φ(ψ(f)) = φ(ε(B)F(f)) = U(ε(B)F(f))η(A) = U(ε(B)) U(F(f))η(A) ∵ η 的自然性

∴ = U(ε(B)) η(U(B)) f ∵ 三角恒等式 ①

∴ = 1ᴜ₍ʙ₎ f = f

ψ(φ(g)) = ψ(U(g)η(A)) = ε(B)F(U(g)η(A)) = ε(B)F(U(g)) F(η(A)) ∵ ε 的自然性

∴ = gε(F(A)) F(η(A)) ∵ 三角恒等式 ②

∴ = g 1ғ₍ᴀ₎ = g

于是，就是证明了 φ 和 ψ 是互逆的双射。关于φ 和 ψ 的自然性 也很容易验证（留给大家思考），这样以来我们就推出了定义2。

有了以上准备，接下来我们开始引入单子的概念。

单子

在上面的伴随中，我们以 范畴 A 为焦点， 如果，令 T = UF：A → A，1 = 1ᴀ ，则 伴随的单位，可记为：

η: 1 → T

再考虑 余单位 ε: FU → 1ʙ，我们分别在ε左右复合U和F，可得到：

UεF: UFUF → U1ʙF

而，

UFUF = TT = T² , U1ʙF = UF，

于是，令 μ = UεF，则有 自然变换：

μ: T² → T

令 B = F(A) 为参数，带入 三角恒等 1ᴜ₍ʙ₎ = Uε(B)∘ηU(B) 得到：

1ᴜғ₍ᴀ₎ = UεF(A)∘ηUF(A)

1ᴛ₍ᴀ₎ = μ(A)∘ηT(A)

即，

1 = μ∘ηT

对 三角很等式 1ғ₍ᴀ₎ = εF(A)∘Fη(A) 两边应用 函子 U，有：

U(1ғ₍ᴀ₎) = U(εF(A)∘Fη(A))

由于，函子将幺态射映射到幺态射，所以，

等式左边 = 1ᴜғ₍ᴀ₎

根据，函子的保持复合性，知 ，

等式右边 = UεF(A)∘UFη(A)

等式两边关联的就得到：

1ᴜғ₍ᴀ₎ = UεF(A)∘UFη(A)

1ᴛ₍ᴀ₎ = μ(A)∘Tη(A)

即，

1 = μ∘Tη

将上面的得到的结果绘制成交换图Ⅰ，如下 ：

另一方面，考虑 B 中的 任意 态射 f: X → Y, 根据 自然变换 ε: FU → 1ʙ 的自然性，有如下交换图：

令，X = FU(Y)，则有：

这时我们发现 f, ε(Y) 同时属于 Hom(FU(Y), Y)，于是 可以令 f = ε(Y)，则有：

又令，Y = F(A)，则有：

再对上图应用 函子 U ，将其从范畴 B 映射 到 范畴 A，有：

将 图中 表达式 改写成 T 和 μ 和形式， 最后 得到 如下交换图Ⅱ：

对应关系式为：

μ∘μT = μ∘Tμ

综上，我们就从 伴随函子 F: A ⇄ B: U 得到了：

定义在 范畴 A 上的 函子 T: A → A ，以及两个 使得 图 Ⅰ 和 Ⅱ 可交换 的 自然变换 η: 1 → T 和 μ: T² → T ，我们 称 T（以及 η 和 μ） 为 单子。

Eilenberg-Moore 范畴

以上，是从 伴随 F: A ⇄ B: U 得到了 A 上的 单子 T，反过来 从 单子 T: A → A 也可以 构造 伴随 F: A ⇄ B: U，这件事 最早 是 由 Eilenberg 和 Moore 通过构造 Eilenberg-Moore 范畴，来实现的。

Aᵀ 对象 是 由 A 中任意对象 A 和 映射 h: T(A) → A 组成的 序对 (A, h)，并且要求满足条件：

1ᴀ = h∘η(A)

h∘μ(A) = h∘T(h)

即，使得下二图可交换：

我们称 (A, h) 为 T-代数，A 称为 代数的 底对象，h 称为 代数的 构造映射，条件1（上面左图）称为 代数的 单位律，条件2（上面右图）称为 代数的 结合律。

Aᵀ 中的态射 与 A 保持一致，即 ㈠，

f: (A, h) → (A", h") 当且仅当 f: A → A"

进而 A 中的 态射的 复合 也就 无缝迁移到了 Aᵀ。

由 T-代数 组成 的 范畴 Aᵀ ，就是 我们要构造 的 伴随 F: A ⇄ B: U 中的 B。

函子 U: Aᵀ → A 很自然的可以定义为：

U(A, h) = A, U(f) = f

接着，观察 单子 的 换图 Ⅰ和 Ⅱ 中的关系式：

1(A) = μ(A)∘ηT(A)

μ(A)∘μT(A) = μ(A)∘Tμ(A)

如果 令, h = μ(A)，Ã = T(A)，则改写为：

1ᴀ = h∘η(Ã)

h∘μ(Ã) = h∘T(h)

刚好满足 T-代数 的 单位律 和 结合律，于是 (Ã, h) 是 Aᵀ 的对象，所以 我们可以定义 函子 F: A → Aᵀ 为：

F(A) = (T(A), μ(A)), F(f) = T(f)

显然，有：

UF(A) = U(T(A), μ(A)) = T(A)

即，

UF = T

于是，η 可记为：

η: 1ᴀ → UF

再考虑，自然变换 ε: FU → 1ᴀᵀ，有：

ε(A, h): FU(A, h) → (A, h)

因为 FU(A, h) = F(A) = (T(A), μ(A)) ，所以：

ε(A, h): (T(A), μ(A)) → (A, h)

又根据 上面 ㈠ 处 Aᵀ 的规定，有：

ε(A, h): T(A) → A

而，恰恰有：

h: T(A) → A

所以，我们可以定义 ε 如下：

ε(A, h) = h

到此为止我们就定义出来了 函子 F :A ⇄ Aᵀ : U 和 自然变换 η: 1ᴀ → UF 与 ε: FU → 1ᴀᵀ，根据这些定义，对于 任意 A ∈ ObA， 结合 单子的图Ⅰ交互性， 有：

εF(A)∘Fη(A) = ε(T(A), μ(A))∘F(η(A)) = μ(A)∘Tη(A) = 1ᴛ₍ᴀ₎ = 1ᴜ₍ғ₍ᴀ₎₎ = U(1ғ₍ᴀ₎) = 1ғ₍ᴀ₎

对于 任意 (A, h) ∈ ObAᵀ ，应用 T-代数 的 单位律，有：

Uε(A, h)∘ηU(A, h) = U(h)∘η(A) = h∘η(A) = 1ᴀ = U(1ᴀ) = 1ᴜ₍ᴀ₎

这样就验证了 “三角恒等式” 成立 ，故，F 和 U 就是 我们要构造的 伴随。

闭包

最后，我们举一个单子的实际例子，以加深对其的理解。

回忆前面的 偏序范畴 Poset，其态射 就是 偏序关系：

A → B iff A ≤ B

态射的复合，就是 偏序的传递性：

A ≤ B ∘ B ≤ C = A ≤ C

设，T: Poset → Poset 是 Poset 上的 单子 ，则，首先 T 是函子，于是有：

T(A ≤ B) = T(A) ≤ T(B)

故，T 是单调递增的。

要使得 η: 1 → T 存在，则，

η(A): A ≤ T(A)

就必须存在，故，显然 T 是 上升的。

要使得 μ: T² → T，存在，则，

μ(A): T²(A) ≤ T(A)

就必须存在，而，又有：

T(A ≤ T(A)) = T(A) ≤ T²(A)

故，只能是：

T²(A) = T(A)

当然，也是，

T(A) = T²(A) = T³(A) = ...

我们，称 这样的 T 为 闭包，一般记为 Ā = T(A)。

可以验证，闭包 满足 单子的要求：

μ(A)∘ηT(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A) ≤ T²(A) =

μ(A)∘Tη(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A ≤ T(A)) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A) ≤ T²(A) =

T²(A) ≤ T²(A) = T(A) ≤ T(A) = 1ᴛ₍ᴀ₎

μ(A)∘μT(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T³(A) ≤ T²(A) = μ(A)∘Tμ(A)

故，闭包的确是单子。

闭包和单子是函数式编程中很重要的两个概念，由于本系列回答限制于数学的角度，因此不会涉及计算机语言的内容，以后有机会再和大家一起讨论《范畴论》在计算机语言中的应用。

好了，这篇回答就先到这里，关于单子还有许多内容，我们下一篇回答再继续讨论！

（最后，由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎批评指正，同时感谢大家阅读！）

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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